2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 5회 - [문제 1]
2027학년도 모의고사 5회 [2022학년도 기출유형]
<가> 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 \(1\)인 원 위의 두 점 \(P, Q\)를 잇는 한 호 \(PQ\)의 길이를 \(t\)라고 할 때, 현 \(PQ\)의 길이를 \(f(t)\), 현 \(PQ\)와 길이가 \(t\)인 호 \(PQ\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(g(t)\)라고 하자.
<나> 반지름의 길이가 \(1\)인 원 위에 서로 다른 \(n\)개의 점 \(P_0, P_1, \dots, P_{n-1}\)이 순서대로 놓여 있고, \(\overline{P_0 P_1} = \overline{P_1 P_2} = \dots = \overline{P_{n-2} P_{n-1}} = \overline{P_{n-1} P_0}\)을 만족시킨다. 예를 들어, 오른쪽 그림은 \(n=6\)인 경우이다.
1-1 제시문 <가>에서 주어진 식 \(f(t), g(t)\)에 대하여 극한값 \(\lim_{t \to 0^+} \frac{g(t)}{f(t)}\)를 구하시오. (30점)
1-2 제시문 <나>에서 주어진 \(n\)개의 점 \(P_0, P_1, \dots, P_{n-1}\)에 대하여 극한값
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\overline{P_0 P_1} + \overline{P_0 P_2} + \dots + \overline{P_0 P_{n-1}}}{n} \]
을 구하시오. (30점)
1-3 제시문 <나>에서 주어진 \(n\)개의 점 \(P_0, P_1, \dots, P_{n-1}\)에 대하여 호 \(P_0 P_1\)과 현 \(P_0 P_1\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_1\), 호 \(P_0 P_2\)와 현 \(P_0 P_2\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_2\), \(\dots\), 호 \(P_0 P_{n-1}\)과 현 \(P_0 P_{n-1}\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_{n-1}\)이라 하자. 극한값
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{S_1^2 + S_2^2 + \dots + S_{n-1}^2}{n} \]
을 구하시오. (단, \(S_1 < S_2 < \dots < S_{n-1}\)이 되도록 호를 선택한다.) (40점)